A 確率過程 確率過程は、決定論的なルールではなく確率的な法則に従って時間とともに進化するシステムを表現するために用いる数学的対象です。単一の確率変数とは異なり、我々はそれを時刻でインデックス付けされた確率変数の集合 $\{X_n : n \in T\}$ として基本的に定義します。この授業では、 単純ランダムウォーク（SRW）—初期値 $a$ から始まり、独立した賭けを通じて進むギャンブラーの資産をシミュレートする離散時間モデルです。
1. 単純ランダムウォークのメカニズム
時刻 $n$ における歩みの状態を、独立した増分の和として表すことができます：
$$X_n = a + Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n$$
ここで各 $Z_i$ は賭けの結果を表し、勝利の確率が $p$ で $+1$、敗北の確率が $q = 1-p$ で $-1$ です。
$ \{X_n\}$ が単純ランダムウォークであるとします。$k$ が整数で、$-n \leq k \leq n$ かつ $n + k$ が偶数である場合、$n$ ステップ後に状態 $a+k$ にいる確率は次の通りです：
$$P(X_n = a+k) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}} p^{(n+k)/2} q^{(n-k)/2}$$
重要な落とし穴： 他のすべての $k$ 値（$n+k$ が奇数または $|k| > n$）に対しては、$P(X_n = a + k) = 0$ です。この「偶奇チェック」により、ステップ数に基づいて特定の状態しか到達できないことが保証されます。
2. 期待値と公平性
プロセスの平均的な経路は確率 $p$ に依存します。時刻 $n$ における期待値は次のように与えられます：
$E(X_n) = a + n(2p - 1)$
- 公平なゲーム（$p = 1/2$）： このプロセスは マルティンゲールです。平均的には資産は一定です：$E(X_{n+1} - X_n | X_n) = 0$。
- 不利なゲーム（$p < 1/2$）： プロセスは劣勢に陥り、資産は下向きに移動します。
- 有利なゲーム（$p > 1/2$）： プロセスは上向きに移動します。
3. 広い文脈
単純ランダムウォークは離散的な和に焦点を当てますが、確率過程は連続的なモデルも含みます。たとえば、 ポアソン過程 （$N_t$）は独立した増分を持つもので、$P(N_t = k) = e^{-at} \frac{(at)^k}{k!}$ です。また、$f(y) = e^{-y^4}(1+|y|)^3$ のようなMCMCサンプリングのターゲット分布でも同様のダイナミクスが観察されます。これらのプロセスは通常、$v_1 = v_0 A$ のような遷移記法を使用します。